Trudinger type inequalities in 𝐑^{𝐍} and their best exponents

Abstract

We study Trudinger type inequalities in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper R Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {R}}^{N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and their best exponents <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha Subscript upper N"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha _{N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We show for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha element-of left-parenthesis 0 comma alpha Subscript upper N Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha \in (0,\alpha _{N})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha Subscript upper N Baseline equals upper N omega Subscript upper N minus 1 Superscript 1 slash left-parenthesis upper N minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha _{N}=N\omega _{N-1}^{1/(N-1)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ( <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega Subscript upper N minus 1"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega _{N-1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the surface area of the unit sphere in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper R Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {R}}^{N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ), there exists a constant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript alpha Baseline greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C_{\alpha }&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row with Label left-parenthesis asterisk right-parenthesis EndLabel integral Underscript bold upper R Superscript upper N Baseline Endscripts normal upper Phi Subscript upper N Baseline left-parenthesis alpha left-parenthesis StartFraction StartAbsoluteValue u left-parenthesis x right-parenthesis EndAbsoluteValue Over double-vertical-bar nabla u double-vertical-bar Subscript upper L Sub Superscript upper N Subscript left-parenthesis bold upper R Sub Superscript upper N Subscript right-parenthesis Baseline EndFraction right-parenthesis Superscript StartFraction upper N Over upper N minus 1 EndFraction Baseline right-parenthesis d x less-than-or-equal-to upper C Subscript alpha Baseline StartFraction double-vertical-bar u double-vertical-bar Subscript upper L Sub Superscript upper N Subscript left-parenthesis bold upper R Sub Superscript upper N Subscript rig