A remark on least energy solutions in 𝐑^{𝐍}

Abstract

We study a mountain pass characterization of least energy solutions of the following nonlinear scalar field equation in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper R Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {R}^N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> : <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus normal upper Delta u equals g left-parenthesis u right-parenthesis comma u element-of upper H Superscript 1 Baseline left-parenthesis bold upper R Superscript upper N Baseline right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} -\Delta u = g(u),\, u \in H^1(\mathbf {R}^N), \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N\geq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Without the assumption of the monotonicity of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t right-arrow from bar StartFraction g left-parenthesis t right-parenthesis Over t EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ↦ </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t\mapsto \frac {g(t)}{t}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we show that the mountain pass value gives the least energy level.