Metriques de Carnot-Caratheodory et Quasiisometries des Espaces Symetriques de rang un

Abstract

We exhibit a rigidity property of the simple groups Sp(n, 1) and F7-20 which implies Mostow rigidity. This property does not extend to O(n, 1) and U(n, 1). The proof relies on quasiconformal theory applied in the CR setting. Extensions are given to a class of solvable Lie groups. As a byproduct, a result on quasiisometries of infinite nilpotent groups is obtained. Dans cet article, on etablit une propriete de rigidite' des groupes simples de rang un Sp(n, 1), n 2 2 et Fqui entraine la rigidite de Mostow: 1. THEOREME. Toute quasiisornwtrie de 1'espace hyperbolique quaternionien HHn, n > 2, (resp. du plan hyperbolique de Cayley CaH2) est d distance bornee d'une isometrie, i.e., differe d'une isomnetrie par une application qui diplace les points d 'une distance bornee. Une application f entre espaces metriques est une quasiisometrie s'il existe des constantes L et C telles que l'image de f soit C-dense et que, pour tous X y, C + -d(x, y) < d(fx, fy) < Ld(x, y) + C. L Une quasiisometrie entre des G et G' est une sorte d'isomorphisme virtuel dans la categorie topologique (en effet, cela correspond 'a une action de G sur un fibre principal C' de groupe G' sur une base compacte; cf. [Ra]). Un isomorphisme entre sous-groupes cocompacts (covolume fini suffit pour les groupes simples de rang un) de groupes de Lie s'etend en une quasiisometrie des espaces symetriques ou des groupes de Lie. Si celle-ci est proche d'une isometrie des espaces symetriques (resp. un isomorphisme des groupes de Lie), les sous-groupes sont conjugues, c'est la rigidite de Mostow [M2]. La propriete ci-dessus ne s'etend pas aux groupes O(n, 1) et U(n, 1). En effet, (paragraphe 11.7) ceux-ci ont beaucoup de quasiisometries, au moins This content downloaded from 207.46.13.92 on Sun, 20 Nov 2016 04:26:46 UTC All use subject to http://about.jstor.org/terms