Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups

Abstract

The main result is the following stability theorem: Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper T equals left-parenthesis upper T left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis Subscript t greater-than-or-slanted-equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {T} = {(T(t))_{t \geqslant 0}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a bounded <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-semigroup on a reflexive space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Denote by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the generator of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {T}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma left-parenthesis upper A right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma (A)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the spectrum of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma left-parenthesis upper A right-parenthesis intersection i bold upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma (A) \cap i{\mathbf {R}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is countable and no eigenvalue of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> lies on the imaginary axis, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript t right-arrow normal infinity Endscripts upper T left-parenthesis t right-parenthesis x equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\lim _{t \to \infty }}T(t)x = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x element-of upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x \in X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.