Another characterization of BMO

Abstract

The following characterization of functions of bounded mean oscillation (BMO) is proved. <italic>f</italic> is in BMO if and only if <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f equals alpha log g Superscript asterisk Baseline minus beta log h Superscript asterisk Baseline plus b"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f = \alpha \log {g^ \ast } - \beta \log {h^ \ast } + b</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g Superscript asterisk Baseline comma left-parenthesis h Superscript asterisk Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{g^ \ast },({h^ \ast })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the Hardy-Littlewood maximal function of <italic>g</italic>, (<italic>h</italic>), respectively, <italic>b</italic> is bounded and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar f double-vertical-bar Subscript BMO Baseline less-than-or-slanted-equals c left-parenthesis alpha plus beta plus double-vertical-bar b double-vertical-bar Subscript normal infinity Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>BMO</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\left \| f \right \|_{{\text {BMO}}}} \leqslant c(\alpha + \beta + {\left \| b \right \|_\infty })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.