Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces

Abstract

Topological entropy <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Subscript d Baseline left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{h_d}(T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is defined for a uniformly continuous map on a metric space. General statements are proved about this entropy, and it is calculated for affine maps of Lie groups and certain homogeneous spaces. We compare <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Subscript d Baseline left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{h_d}(T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with measure theoretic entropy <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h(T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; in particular <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h left-parenthesis upper T right-parenthesis equals h Subscript d Baseline left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h(T) = {h_d}(T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for Haar measure and affine maps <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on compact metrizable groups. A particular case of this yields the well-known formula for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h(T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a toral automorphism.