On the Well-Posedness of the Kirchhoff String

Abstract

Let us consider the Cauchy problem for the quasilinear hyperbolic integro-differential equation <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row 1st Column u Subscript t t Baseline minus m left-parenthesis integral Underscript Subscript partial-differential normal upper Omega Baseline Endscripts StartAbsoluteValue nabla Subscript x Baseline u EndAbsoluteValue squared d x right-parenthesis delta Subscript x Baseline u equals f left-parenthesis x comma t right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon 3rd Column a m p semicolon 4th Column a m p semicolon left-parenthesis x element-of normal upper Omega comma t greater-than 0 right-parenthesis comma 2nd Row 1st Column u left-parenthesis dot comma t right-parenthesis Subscript vertical-bar partial-differential normal upper Omega Baseline equals 0 2nd Column a m p semicolon 3rd Column a m p semicolon 4th Column a m p semicolon left-parenthesis t greater-than-or-equal-to 0 right-parenthesis comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{align*} u_{tt} - m \left (\int _{_{\partial {\Omega }}} |\nabla _{x}u|^{2} \, dx \right ) \delta _{x}u= f(x,t) &amp;&amp;&amp; (x\in \, \Omega , t &gt; 0),\\ u(\cdot ,t)_{|\partial \Omega } =0 &amp;&amp;&amp; (t\geq 0), \end{align*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an open subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a positive function of one real variable which is continuously differentiable. We prove the well-posedness in the Hadamard sense (existence, uniqueness and continuous dependence of the local solution upon the initial data) in Sobolev spaces of low order.